Question

已知函数f（x）=sinxcosx+sinx+cosx，且在△ABC中，sinA，sinB，sinC依次成等比数列，则f（B）范围为（　　）

• A、1≤f（B）≤

  2

• B、1＜f（B）≤

  2

  +

  1

  2

• C、

  2 6 +2 2 + 3 -2

  8

  ≤f（B）＜1
• D、

  2 6 +2 2 + 3 -2

  8

  ≤f（B）＜

  2

  +

  1

  2

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：根据题意sin²B=sinA•sinC，b²=ac，cosB=

a2+c2-b2

2ac

，求出B的范围，化简函数解析式得f（B）=

1

2

sin2B+

1+sin2B

利用三角函数单调性求解．

解答： 解：在△ABC中，sinA，sinB，sinC依次成等比数列，
sin²B=sinA•sinC依次成等比数列，
根据正弦定理可知：b²=ac，
又根据余弦定理和不等式可以得到：
cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2

2ac

-

1

2

≥1-

1

2

=

1

2

，
∵B∈（0．π），∴0＜B≤

π

3

，
∵函数f（x）=sinxcosx+sinx+cosx=

1

2

sin2x+

1+sin2x

∴f（B）=

1

2

sin2B+

1+sin2B

，0＜B≤

π

3

，
∵0＜2B≤

2π

3

∴0＜sin2B≤1，f（B）范围为：1＜f（B）≤

2

+

1

2

故选：B

点评：本题综合考查了三角函数，三角形，不等式的知识，综合性比较强．