Question

已知函数，当时，.
（1）若函数在区间上存在极值点，求实数a的取值范围；
（2）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；
（3）试证明：.

Answer 1

（1）；（2）；（3）证明过程详见解析.

试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的极值与最值等数学知识，考查学生分析问题解决问题的能力、转化能力和计算能力.第一问，先对求导，利用，判断函数的单调区间，利用单调性的变化，判断有无极值；第二问，将已知的恒成立问题转化为，即转化为求函数的最小值问题，利用导数判断的单调性，求出最小值；第三问，利用第二问的结论进行变形，得到类似所证结论的表达式，通过式子的累加得到所证结论.
试题解析：（1）当x>0时，，有
；
所以在（0，1）上单调递增，在上单调递减，
函数在处取得唯一的极值．由题意，且，解得
所求实数的取值范围为.              4分
（2）当时，   5分
令，由题意，在上恒成立
   6分
令，则，当且仅当时取等号．
所以在上单调递增，．   8分
因此，   在上单调递增，．
所以．所求实数的取值范围为      9分
（3）由（2），当时，即，即．   10分
从而．             12分
令，得，
 将以上不等式两端分别相加，得
          14分