Question

17．平面直角坐标系xOy中，双曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C₂：y²=2px（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的重心为C₂的焦点，则C₁的渐近线方程为（　　）

• A． y=±$\frac{\sqrt{6}}{4}$x
• B． y=±$\frac{2\sqrt{6}}{3}$x
• C． y=±2$\sqrt{2}$x
• D． y=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x

Answer 1

分析 联立方程组求出A，B的坐标，结合三角形的重心坐标公式建立方程组关系求出$\frac{b}{a}$=，即可得到渐近线的方程．

解答 解：双曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
与抛物线C₂：y²=2px联立，可得x=0或x=$\frac{2p{a}^{2}}{{b}^{2}}$，
当x=$\frac{2p{a}^{2}}{{b}^{2}}$时，y=±$\frac{b}{a}$x=±$\frac{b}{a}$×$\frac{2p{a}^{2}}{{b}^{2}}$=±$\frac{2pa}{b}$
取A（$\frac{2p{a}^{2}}{{b}^{2}}$，$\frac{2pa}{b}$），B（$\frac{2p{a}^{2}}{{b}^{2}}$，-$\frac{2pa}{b}$），
抛物线C₂的焦点（$\frac{p}{2}$，0），
即三角形的重心G（$\frac{p}{2}$，0），
则由重心坐标公式得$\frac{p}{2}$=$\frac{0+\frac{2p{a}^{2}}{{b}^{2}}+\frac{2p{a}^{2}}{{b}^{2}}}{3}$，
即$\frac{3p}{2}$=$\frac{4p{a}^{2}}{{b}^{2}}$，
即$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$=$\frac{3}{8}$，即$\frac{a}{b}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$，
则$\frac{b}{a}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
则双曲线的渐近线为y=±$\frac{b}{a}$x=±$\frac{2\sqrt{6}}{3}$x，
故选：B

点评 本题考查双曲线的性质，联立方程组，根据三角形的重心坐标公式是解决本题的关键．，考查学生的计算能力．