Question

已知函数f（x）=alnx+x²（a为常实数）．
（1）若a=-2，求函数f（x）的单调区间；
（2）若当x∈[1，e]时，f（x）≤a+2恒成立，求实数a的取值范围；
（3）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（1）将a=-2代入，然后求出导函数f'（x），利用导函数的正负，可得函数f（x）的单调区间；
（2）当x∈[1，e]时，f（x）≤a+2可化为a≥

x2-2x

x-lnx

，求出右边的最大值，即可求实数a的取值范围；
（3）先求出导函数f'（x），然后讨论a研究函数在[1，e]上的单调性，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值．

解答： 解：（1）当a=-2时，f（x）=x²-2lnx，f′（x）=

2(x+1)(x-1)

x

．
当x∈（1，+∞），f′（x）＞0，x∈（0，1），f′（x）＜0，
故函数f（x）的单调增区间为（1，+∞）；单调减区间为（0，1）．
（2）当x∈[1，e]时，f（x）≤a+2可化为a≥

x2-2x

x-lnx

，
令g（x）=

x2-2x

x-lnx

，则g′（x）=

(x-1)(x+2-2lnx)

(x-lnx)2

∵x∈[1，e]，∴g′（x）≥0
∴g（x）在[1，e]上为增函数，
∴g（x）的最大值为g（e）=

e2-2e

e-1

，
∴a≥

e2-2e

e-1

；
（3）f′（x）=

2x2+a

x

（x＞0），当x∈[1，e]，2x²+a∈[a+2，a+2e²]．
若a≥-2，f'（x）在[1，e]上非负（仅当a=-2，x=1时，f'（x）=0），
故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]_min=f（1）=1．
若-2e²＜a＜-2，当x=

-a 2

时，f'（x）=0；当1≤x＜

-a 2

时，f'（x）＜0，
此时f（x）是减函数；当

-a 2

＜x≤e时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．
故[f（x）]_min=f（

-a 2

）=

a

2

ln（-

a

2

）-

a

2

若a≤-2e²，f'（x）在[1，e]上非正（仅当a=-2e²，x=e时，f'（x）=0），
故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]_min=f（e）=a+e²．
综上可知，当a≥-2时，f（x）的最小值为1，相应的x值为1；
当-2e²＜a＜-2时，f（x）的最小值为

a

2

ln（-

a

2

）-

a

2

，相应的x值为

-a 2

；
当a≤-2e²时，f（x）的最小值为a+e²，相应的x值为e．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数求闭区间上函数的最值，属于中档题．