Question

已知⊙C₁：x²+（y+5）²=5．
（1）求过点A（1，-3）且与⊙C₁相切的直线l的方程；
（2）设⊙C₂为⊙C₁关于（1）中的直线l对称的圆，则在x轴上是否存在点P，使得P到两圆的切线长之比为

2

？若存在，求出点P的坐标，若不存在，试说明理由；
（3）设Q是直线y=x+4上的任意一点，EF为⊙C₁的任意一条直径（E、F为直径的两个端点），求

QE

•

QF

的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系,圆的切线方程

专题：计算题,直线与圆

分析：（Ⅰ）先判定点在圆上，用点斜式求切线l的方程．
（Ⅱ）求出对称圆的方程，设x轴上P点坐标，利用半径和PC₂的距离，解出两个切线长，再用切线长之比解出结果．
（3）

QE

•

QF

=

4 QC1 2-( QE 2+ QF 2)

2

，△QEF中，由余弦定理可得QE²+QF²=2

QE

•

QF

+20，从而可得

QE

•

QF

=QC₁²-5，故当QC₁最小时，

QE

•

QF

取得最小值

解答： 解：（1）C₁（0，-5），r=

5

，
因为点A恰在⊙C₁上，所以点A即是切点，直线l的斜率为-

1

2

，
所以，直线l的方程为y+3=-

1

2

（x-1），即x+2y+5=0；
（2）因为点A恰为C₁C₂中点，所以，C₂（2，-1），
所以，⊙C₂：（x-2）²+（y+1）²=5，
设P（a，0），

PC12-5

PC22-5

=2或

1

2

，
所以

a2+20

(a-2)2-4

=2或

1

2

，
解得a=-2或10．
所以P（-2，0）或（10，0）
综上，存在两点P（-2，0）或P（10，0）适合题意．
（3）由题意可得圆心C₁（0，-5），EF=2

5

为直径．
由于

QE

+

QF

=2

QC1

，平方可得

QE

•

QF

=

4 QC1 2-( QE 2+ QF 2)

2

①．
△QEF中，由余弦定理可得 EF²=20=QE²+QF²-2QE•QFcos∠EQF
=QE²+QF²-2

QE

•

QF

，
∴QE²+QF²=2

QE

•

QF

+20 ②，
把②代入①可得

QE

•

QF

=2QC₁²-

QE

•

QF

-10，
∴

QE

•

QF

=QC₁²-5，故当QC₁最小时，

QE

•

QF

取得最小值
由于QC₁的最小值是点C₁到直线l：x-y+4=0的距离，为

9

2

=

9 2

2

，
故

QE

•

QF

的最小值为

71

2

．

点评：本题主要直线与圆的位置关系，考查两个向量的数量积的运算，直线和圆相交的性质，余弦定理的应用，属于中档题．