Question

某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）在某一个周期的图象时，列表并填入的部分数据如下表：

x	2π 3	x1	8π 3	x2	x3
ωx+φ	0	π 2	π	3π 2	2π
Asin（ωx+φ）	0	2	0	-2	0

（Ⅰ）求x₁，x₂，x₃的值及函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移π个单位，可得到函数g（x）的图象，求函数y=f（x）•g（x）在区间（0，

5π

3

）的最小值．

Answer 1

考点：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由

2π

3

ω+φ=0，

8π

3

ω+φ=0可得ω，φ的值，由

1

2

x₁-

π

3

=

π

2

；

1

2

x₂-

π

3

=

3π

2

；

1

2

x₃-

π

3

=2π可得：x₁，x₂，x₃的值，又由Asin（

1

2

×

5π

3

-

π

3

）=2可求A的值，从而求得解析式f（x）=2sin（

1

2

x-

π

3

）．
（Ⅱ）先求解析式g（x）=f（x）=2cos（

x

2

-

π

3

），从而可得解析式y=f（x）•g（x）=2sin（x-

2π

3

），即可求解．

解答： （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由

2π

3

ω+φ=0，

8π

3

ω+φ=0可得：ω=

1

2

，φ=-

π

3

，…（2分）
由

1

2

x₁-

π

3

=

π

2

；

1

2

x₂-

π

3

=

3π

2

；

1

2

x₃-

π

3

=2π可得：
x₁=

5π

3

，x₂=

11π

3

，x₃=

14π

3

，
又∵Asin（

1

2

×

5π

3

-

π

3

）=2，
∴A=2．
∴f（x）=2sin（

1

2

x-

π

3

），…（6分）
（Ⅱ）由f（x）=2sin（

1

2

x-

π

3

）的图象向左平移π个单位，
得g（x）=f（x）=2sin（

1

2

x-

π

3

+

π

2

）=2cos（

x

2

-

π

3

）的图象，…（8分）
∴y=f（x）•g（x）=2×2sin（

x

2

-

π

3

）cos（

x

2

-

π

3

）=2sin（x-

2π

3

）…（10分）
∵x∈（0，

5π

3

）时，x-

2π

3

∈（-

2π

3

，π）
∴当x-

2π

3

=-

π

2

时，即x=

π

6

时，y_min=-2，…（13分）
注：若用f(x)=4sin(

1

2

x-

π

3

)sin(

1

2

x+

π

6

)运算，请参照给分．

点评：本题主要考察了五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数的图象与性质，属于中档题．