Question

已知过圆O：x²+y²=1上一动点M作平行与y轴的直线l，设直线l交与x轴于点N，

OQ

=

OM

+

ON

的点Q的轨迹为曲线N．
（1）求曲线方程；
（2）若过点（-3，0）的直线l与曲线N有两个不同的交点，求直线l的斜率的取值范围．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用,平面向量数量积的运算

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）设出M及Q的坐标，根据题意表示出N的坐标，利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式，用x与y分别表示出x₀及y₀，将表示出的x₀及y₀代入圆C的方程，得到x与y的关系式，再根据由已知，直线m∥y轴，得到x≠0，即可得出Q的轨迹方程；
（2）设直线方程为y=k（x+3），代入

x2

4

+y²=1，整理可得（1+4k²）x²+24k²x+36k²-4=0，利用过点（-3，0）的直线l与曲线N有两个不同的交点，可得△=（24k²）²-4（1+4k²）（36k²-4）＞0，即可求直线l的斜率的取值范围．

解答： 解：（1）设点M的坐标为（x₀，y₀），Q点坐标为（x，y），则N点坐标是（x₀，0），
∵

OQ

=

OM

+

ON

，
∴（x，y）=（2x₀，y₀），即x₀=

x

2

，y₀=y，
又∵x₀²+y₀²=1，∴

x2

4

+y²=1，
由已知，直线m∥y轴，得到x≠0，
∴Q点的轨迹方程是

x2

4

+y²=1（x≠0）；
（2）设直线方程为y=k（x+3），代入

x2

4

+y²=1，
整理可得（1+4k²）x²+24k²x+36k²-4=0，
∵过点（-3，0）的直线l与曲线N有两个不同的交点，
∴△=（24k²）²-4（1+4k²）（36k²-4）＞0，
∴-

5

5

＜k＜

5

5

．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，考查动点的轨迹方程，平面向量的数量积运算法则，属于中档题．