Question

在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．
（1）求证：BE∥平面PAD；
（2）求证：BC⊥平面PBD；
（3）已知在侧棱PC上存在一点Q，使得二面角Q-BD-P为45°，求

PQ

PC

．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）根据线面平行的判定定理即可证明BE∥平面PAD；
（2）根据线面垂直的判定定理即可证明BC⊥平面PBD；
（3）建立空间直角坐标系，求出向量的法向量，根据向量法与二面角之间的关系，即可求出

PQ

PC

．

解答： 解：（1）取PD的中点F，连结EF，AF，
因为E为PC中点，所以EF∥CD，
且EF=

1

2

CD=1，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=1，
所以EF∥AB，EF=AB，四边形ABEF为平行四边形，所以BE∥AF，
BE?平面PAD，AF?平面PAD，
所以BE∥平面PAD．
（2）平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，所以PD⊥平面ABCD，
所以PD⊥AD．如图，以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz．
则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，1），

DB

=(1，1，0)，

BC

=(-1，1，0)．
所以

BC

•

DB

=0，BC⊥DB，
又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，
所以BC⊥平面PBD．
（3）平面PBD的法向量为

BC

=(-1，1，0)，

PC

=(0，2，-1)，

PQ

=λ

PC

，λ∈(0，1)，
所以

PQ

=(0，2λ，-λ)，
设平面QBD的法向量为

n

=（a，b，c），f′(x)=0，得x1=

-a- a2+4a

2

，x2=

-a+ a2+4a

2

，
由

n

•

DB

=0，

n

•

DQ

=0，
所以

a+b=0 2λb+(1-λ)c=0

所以

n

=(-1，1，

2λ

λ-1

)，…（10分）
所以cos45°=

n• BC

|n|| BC |

=

2

2 2+( 2λ λ-1 )2

=

2

2

，
注意到λ∈（0，1），得λ=

2

-1．所以

PQ

PC

=

2

-1．

点评：本题主要考查空间直线和平面，平行和垂直的判定，以及空间二面角的求解，要求熟练掌握相应的判定定理以及，空间向量与二面角的关系．