Question

7．为了回馈顾客，某商场在元旦期间举行购物抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为$\frac{3}{5}$，中奖可以获得3分；方案乙的中奖率为$\frac{3}{4}$，中奖可以获得2分；未中奖则不得分，每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，抽奖结束后凭分数兑换奖品．
（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≥3的概率；
（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，分别求两种方案下小明、小红累计得分的分布列，并指出为了累计得分较大，两种方案下他们选择何种方案较好，并给出理由？

Answer 1

分析 （1）由已知得小明中奖的概率为$\frac{3}{5}$，小红中奖的概率为$\frac{3}{4}$，且两人中奖与否互不影响，记“这两人的累计得分X≥3”的事件为A，则事件A包含“X=3”、“X=5”2个互斥的事件，由此能求出X≥3的概率．
（2）设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X₁，则X₁的所有可能的取值为0，3，6，求出X₁的分布列和E（X₁）；都选择方案乙所获得的累计得分为X₂，则X₂的所有可能取值为0，2，4，求出X₂的分布列和E（X₂），从而得到E（X₁）＞E（X₂），进而得到他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．

解答 解：（1）由已知得小明中奖的概率为$\frac{3}{5}$，小红中奖的概率为$\frac{3}{4}$，且两人中奖与否互不影响，
记“这两人的累计得分X≥3”的事件为A，则事件A包含“X=3”、“X=5”2个互斥的事件，
∴X≥3的概率P（X≥3）=P（X=3）+P（X=5）=$\frac{3}{5}×\frac{1}{4}+\frac{3}{5}×\frac{3}{4}$=$\frac{3}{5}$．
（2）设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X₁，则X₁的所有可能的取值为0，3，6，
则X₁的分布列为：

X1	0	3	6
P	$\frac{4}{25}$	$\frac{12}{25}$	$\frac{9}{25}$

E（X₁）=$0×\frac{4}{25}+3×\frac{12}{25}+6×\frac{9}{25}$=$\frac{18}{5}$．
都选择方案乙所获得的累计得分为X₂，则X₂的所有可能取值为0，2，4，
则X₂的分布列为：

X2	0	2	4
P	$\frac{1}{16}$	$\frac{6}{16}$	$\frac{9}{16}$

E（X₂）=$0×\frac{1}{16}+2×\frac{6}{16}+4×\frac{9}{16}$=3，
∵E（X₁）＞E（X₂），∴他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．