Question

10．已知椭圆C₁与双曲线C₂有相同的左右焦点F₁、F₂，P为椭圆C₁与双曲线C₂在第一象限内的一个公共点，设椭圆C₁与双曲线C₂的离心率为e₁，e₂，且$\frac{{e}_{1}}{{e}_{2}}$=$\frac{1}{3}$，若∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，则双曲线C₂的渐近线方程为（　　）

• A． x±y=0
• B． x±$\frac{\sqrt{3}}{3}$y=0
• C． x±$\frac{\sqrt{2}}{2}$y=0
• D． x±2y=0

Answer 1

分析 设椭圆及双曲线的方程，根据椭圆及双曲线的离心率公式及定义，求得a₁=3a₂，丨PF₁丨=a₁+a₂=4a₂，丨PF₂丨=a₁-a₂=2a₂，利用余弦定理即可求得c²=3a₂²，b₂=$\sqrt{2}$a₂，根据双曲线的渐近线方程，即可求得答案．

解答 解：设椭圆C₁的方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}_{1}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}_{1}^{2}}=1$（a₁＞b₁＞0），双曲线C₂的方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}_{2}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}_{2}^{2}}=1$（a₂＞0，b₂＞0），
焦点F₁（-c，0），F₂（c，0），
由e₁=$\frac{c}{{a}_{1}}$，e₁=$\frac{c}{{a}_{2}}$，由$\frac{{e}_{1}}{{e}_{2}}$=$\frac{1}{3}$，则$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，则a₁=3a₂，
由题意的定义：丨PF₁丨+丨PF₂丨=2a₁，丨PF₁丨-丨PF₂丨=2a₂，
则丨PF₁丨=a₁+a₂=4a₂，丨PF₂丨=a₁-a₂=2a₂，
由余弦定理可知：丨F₁F₂丨²=丨PF₁丨²+丨PF₁丨²-2丨PF₁丨丨PF₁丨cos∠F₁PF₂，
则（2c）²=（4a₂）²+（2a₂）²-2×4a₂×2a₂×$\frac{1}{2}$，
c²=3a₂²，b₂²=c²-a₂²=2a₂²，则b₂=$\sqrt{2}$a₂，
双曲线的渐近线方程y=±$\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$x=±$\sqrt{2}$x，即x±$\frac{\sqrt{2}}{2}$y=0，
故选：C．

点评 本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查余弦定理的应用，考查运算能力，属于中档题．