Question

20．已知函数f（x）=a^x-e（x+1）lna-$\frac{1}{a}$（a＞0，且a≠1），e为自然对数的底数．
（1）当a=e时，求函数y=f（x）在区间x∈[0，2]上的最大值
（2）若函数f（x）只有一个零点，求a的值．

Answer 1

分析 （1）把a=e代入函数解析式，求出导函数的零点，可得原函数在[0，1]上单调递减，在（1，2]上单调递增，结合f（2）-f（0）＞0，可得函数y=f（x）在区间x∈[0，2]上的最大值；
（2）求出原函数的导函数，分0＜a＜1和a＞1求得原函数的最小值，由最小值等于0求得a值．

解答 解：（1）当a=e时，f（x）=e^x-e（x+1）lne-$\frac{1}{e}$=e^x-e（x+1）-$\frac{1}{e}$，
∴f′（x）=e^x-e，
令f′（x）=0，解得x=1，
当x∈[0，1]时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当x∈（1，2]时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
∵f（0）=1-e-$\frac{1}{e}$，f（2）=e²-3e-$\frac{1}{e}$，
∴f（2）-f（0）=e²-3e-$\frac{1}{e}$-1+e+$\frac{1}{e}$=e²-2e-1＞0，
∴函数y=f（x）在区间x∈[0，2]上的最大值为e²-3e-$\frac{1}{e}$；
（2）f′（x）=a^xlna-elna=lna（a^x-e），
当0＜a＜1时，由f′（x）=a^xlna-elna=lna（a^x-e）＜0，得a^x-e＞0，即x$＜\frac{1}{lna}$．
由f′（x）=a^xlna-elna=lna（a^x-e）＞0，得a^x-e＜0，即x$＞\frac{1}{lna}$．
∴f（x）在（-∞，$\frac{1}{lna}$）上为减函数，在（$\frac{1}{lna}$，+∞）上为增函数，
∴当x=$\frac{1}{lna}$时函数取得最小值为f（$\frac{1}{lna}$）=${a}^{\frac{1}{lna}}-e（\frac{1}{lna}+1）lna-\frac{1}{a}$=${a}^{\frac{1}{lna}}-elna-e-\frac{1}{a}$．
要使函数f（x）只有一个零点，则${a}^{\frac{1}{lna}}-elna-e-\frac{1}{a}=0$，得a=$\frac{1}{e}$；
当a＞1时，由f′（x）=a^xlna-elna=lna（a^x-e）＜0，得a^x-e＜0，即x$＜\frac{1}{lna}$．
由f′（x）=a^xlna-elna=lna（a^x-e）＞0，得a^x-e＞0，即x$＞\frac{1}{lna}$．
∴f（x）在（-∞，$\frac{1}{lna}$）上为减函数，在（$\frac{1}{lna}$，+∞）上为增函数，
∴当x=$\frac{1}{lna}$时函数取得最小值为f（$\frac{1}{lna}$）=${a}^{\frac{1}{lna}}-e（\frac{1}{lna}+1）lna-\frac{1}{a}$=${a}^{\frac{1}{lna}}-elna-e-\frac{1}{a}$．
要使函数f（x）只有一个零点，则${a}^{\frac{1}{lna}}-elna-e-\frac{1}{a}=0$，得a=$\frac{1}{e}$（舍）．
综上，若函数f（x）只有一个零点，则a=$\frac{1}{e}$．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，体现了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，是压轴题．