Question

2．已知实数x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}y≤x\\ 2x-y-2≤0\end{array}\right.$z=x+y，则满足z≥1的点（x，y）所构成的区域面积等于（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． 1

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，画出目标函数z=x+y取最小值1的直线，然后求三角形面积得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}y≤x\\ 2x-y-2≤0\end{array}\right.$作出可行域如图，

作出直线x+y=0，平移直线x+y=0至过A（1，0）时，满足目标函数z=x+y有最小值为1，
则满足z≥1的点（x，y）所构成的区域为图中阴影区域．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{2x-y-2=0}\end{array}\right.$，解得B（2，2），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{x+y=1}\end{array}\right.$，解得C（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），
∴|AC|=$\sqrt{（1-\frac{1}{2}）^{2}+（0-\frac{1}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
点B到x+y=1的距离为$\frac{|1×2+1×2-1|}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{3\sqrt{2}}{2}=\frac{3}{4}$．
故选：C．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．