Question

17．已知函数f（x）=x|x-a|+2x．若存在x₀∈[1，3]满足f（x）≤2x+1，求所有的实数a．

Answer 1

分析 若存在x₀∈[1，3]满足f（x）≤2x+1，则存在x₀∈[1，3]满足x|x-a|≤1，即函数y=x|x-a|在[1，3]上的最小值不大于1，分类讨论满足条件的a的取值范围，可得答案．

解答 解：若存在x₀∈[1，3]满足f（x）≤2x+1，
则存在x₀∈[1，3]满足x|x-a|≤1，
即函数y=x|x-a|在[1，3]上的最小值不大于1，
当a≤1时，y=x|x-a|在[1，3]上可化为：y=x²-ax，
此时当a=1时，函数的最小值1-a≤1，即a≥0，
∴0≤a≤1，
当1＜a＜3时，函数y=x|x-a|在x=a时，取最小值0，满足要求，
当a≥3时，函数y=x|x-a|在[1，3]上可化为：y=-x²+ax，
x=3时，函数的最小值3a-9≤1，即a≤$\frac{10}{3}$，
∴3≤a≤$\frac{10}{3}$，
综上所述0≤a≤$\frac{10}{3}$．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，分类讨论思想，存在性问题，函数的最值，难度中档．