题目内容
12．
如图，已知△ABC中，O为AC中点，∠ABC=90°，P为△ABC所在平面外一点，且PA=PB=PC，证明：平面PAC⊥平面ABC．
分析 根据P为平面ABC外一点且PA=PB=PC可知点P在底面上的投影必经过AC中点，从而平面PAC⊥平面ABC．
解答 证明：P为平面ABC外一点且PA=PB=PC可知点P在底面上的投影为△ABC的外心
而∠ABC=90°，则△ABC的外心是AC中点，
而P在ABC平面外，则P必在平面ABC的经过AC中点的垂线上，
因此平面PAC⊥平面ABC．
点评 本题主要考查三角形的内心以及二面角的平面角及求法，解决本题的关键就是理解点P在底面上的投影是底面三角形的外心，同时考查了空间想象能力．
练习册系列答案
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3．一个球内有一内接长方体，其长、宽、高分别为5，4，3，则球的半径为（ ）
| A． | 5$\sqrt{2}$ | B． | 2$\sqrt{5}$ | C． | $\sqrt{5}$ | D． | $\frac{5\sqrt{2}}{2}$ |
17．已知双曲线$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的离心率为$\sqrt{3}$，则双曲线的渐近线方程为（ ）
| A． | $y=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$ | B． | $y=±\sqrt{2}x$ | C． | y=±2x | D． | $y=±\frac{1}{2}x$ |