Question

设函数f（x）=（x-a）|x|+b．
（1）当a=2，b=3，求函数y=f（x）的零点；
（2）设b=-2，且对任意x∈[-1，1]，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先将a=2，b=3代入，然后将函数化为分段函数，再根据二次函数的图象和性质，可得函数f（x）的图象，进而分析函数图象可得答案．
（2）将b=-2代入原式，f（x）＜0可化为（x-a）|x|＜2，再对x进行分类讨论分离参数a后，求函数最值即可．

解答： 解（1）当a=2，b=3时
函数f（x）=（x-2）|x|+3的解析式可化为：
f（x）=

x2-2x+3，x≥0 2x-x2+3，x＜0

．
易知，当x≥0时，f（x）=（x-1）²+1≥1恒成立，故此时没有零点；当x＜0时，令f（x）=0得x=-1或3（舍），故x=-1符合题意；
综上原函数的零点为-1．
（2）当b=-2时，由f（x）＜0得，（x-a）|x|＜2．
当x=0时，a取任意实数，不等式恒成立；
当0＜x≤1时，原式可化为a＞x-

2

x

，令g（x）=x-

2

x

，易知该函数在0＜x≤1上单调递增，
∴a＞g_max（x）=g（1）=-1；
当-1≤x＜0时，原式可化为a＞x+

2

x

．令g(x)=x+

2

x

，由g′(x)=1-

2

x2

＜0得-

2

＜x＜0或0＜x＜

2

．
故函数g（x）在[-1，0）上递减，所以此时a＞g（x）_max=g（-1）=-3．
综上，当a＞-1时对任意x∈[-1，1]，f（x）＜0恒成立．

点评：本题重点考查了不等式恒成立问题的解法，主要是分离参数，然后转化为求函数的最值问题．