Question

（1）已知复数z=1-2i，求

z+1

z-2

的值；
（2）已知x是复数，解关于x的方程x²-8x+18=0；
（3）已知2-3i是关于x的方程x²+mx+n=0的一个根，求实数m，n的值．

Answer 1

考点：复数代数形式的混合运算

专题：数系的扩充和复数

分析：（1）利用复数的运算法则即可得出；
（2）配方得（x-4）²+2=0，可得（x-4）²=2i²，两边开方即可得出；
（3）把2-3i代入方程x²+mx+n=0，根据复数相等即可得出．

解答： 解：（1）∵z=1-2i，∴

z+1

z-2

=

2-2i

-1-2i

=

-2+2i

1+2i

=

(-2+2i)(1-2i)

(1+2i)(1-2i)

=

2+6i

5

=

2

5

+

6

5

i．
（2）配方得（x-4）²+2=0，
∴（x-4）²=2i²，
∴x-4=±

2

i
∴方程的根为 x₁=4-

2

i，x₂=4+

2

 i．
（3）由已知有 （2-3i）²+m（2-3i）+n=0 整理得（2m+n-5）+（-3m-12）i=0，
∴2m+n-5=0且-3m-12=0，
解得m=-4，n=13．

点评：本题考查了复数的运算法则及其相等、解有虚根的实系数的一元二次方程，属于基础题．