题目内容
已知f（x）=（1-tanx）（1+sin2x+cos2x）-3
（Ⅰ）求f（x）的定义域、值域和最小正周期；
（Ⅱ）若f（
）-f（
+
）=
，其中α∈（0，
），求α．
（Ⅰ）求f（x）的定义域、值域和最小正周期；
（Ⅱ）若f（
| α |
| 2 |
| α |
| 2 |
| π |
| 4 |
| 6 |
| π |
| 2 |
考点：三角函数中的恒等变换应用
专题：三角函数的求值
分析：（I）化简可得f（x）=2cos2x-3，可得周期，由正切函数的定义域可得定义域和值域；
（II）化简已知条件可得sin（α+
）=
，由α的范围可得．
（II）化简已知条件可得sin（α+
| π |
| 4 |
| ||
| 2 |
解答：
解：（I）化简可得f（x）=（1-tanx）（1+sin2x+cos2x）-3
=
（2cos2x+2sinxcosx）-3=2（cos2x-sin2x）-3=2cos2x-3，
由正切函数的定义域可得f（x）的定义域为{x|x≠kπ+
，k∈Z}
值域为（-5，-1]，
函数的最小正周期为T=
=π；
（II）∵f（
）-f（
+
）=2cosα-2cos（α+
）
=2（cosα+sinα）=2
sin（α+
）=
，
∴sin（α+
）=
，
∵α∈（0，
）
∴α+
∈（
，
），
∴α+
=
或
，
解得α=
，或α=
=
| cosx-sinx |
| cosx |
由正切函数的定义域可得f（x）的定义域为{x|x≠kπ+
| π |
| 2 |
值域为（-5，-1]，
函数的最小正周期为T=
| 2π |
| 2 |
（II）∵f（
| α |
| 2 |
| α |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
=2（cosα+sinα）=2
| 2 |
| π |
| 4 |
| 6 |
∴sin（α+
| π |
| 4 |
| ||
| 2 |
∵α∈（0，
| π |
| 2 |
∴α+
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
∴α+
| π |
| 4 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
解得α=
| π |
| 12 |
| 5π |
| 12 |
点评：本题考查三角函数公式的应用，涉及函数的定义域值域和周期性，属基础题．
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