Question

已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），且f（x•y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（1）；
（2）求证：f（x²）-2f（x）=0
（3）已知f（x）在（0，+∞）上是增函数，解不等式f[x（x-

1

2

）]＜0．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）令x=y=1，即可求出f（1）；（2）只需令y=x，即可得证；
（3）首先将原不等式等价为f[x（x-

1

2

）]＜f（1），再由f（x）在（0，+∞）上是增函数，得到不等式组，解出它们即可．

解答： （1）解：令x=y=1，则f（1）=2f（1），即有f（1）=0；
（2）证明：由于f（x•y）=f（x）+f（y），
令y=x，则f（x²）=2f（x），即有f（x²）-2f（x）=0；
（3）解：∵f（1）=0，
∴f[x（x-

1

2

）]＜0，即f[x（x-

1

2

）]＜f（1），
∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴

x(x- 1 2 )＞0 x(x- 1 2 )＜1

即

x＞ 1 2 或x＜0 1- 17 4 ＜x＜ 1+ 17 4

，
∴

1

2

＜x＜

1+ 17

4

或

1- 17

4

＜x＜0．
∴原不等式的解集为（

1

2

，

1+ 17

4

）∪（

1- 17

4

，0）．

点评：本题考查抽象函数及运用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，同时考查函数的单调性及运用，注意函数的定义域的应用，属于易错题．