Question

已知函数f（x）=x³-ax²-bx的图象与x轴相切于点（1，0）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）求函数f（x）在[-1，2]上的最值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得f′（x）=3x²-2ax-b．依题意，得

f(1)=0 f′(1)=0

，由此求出f（x）=x³-2x²+x．
（2）由f′（x）=3x²-4x+1=（3x-1）（x-1），利用导数性质能求出f（x）的单调区间．
（3）f（-1）=-4，f(

1

3

)=

4

27

，f（1）=0，f（2）=2，由此能求出函数f（x）在[-1，2]上的最值．

解答： （本小题满分14分）
解：（1）由f（x）=x³-ax²-bx，
得f'（x）=3x²-2ax-b．（1分）
依题意，得

f(1)=0 f′(1)=0

，即

1-a-b=0 3-2a-b=0

，（5分）
解得

a=2 b=-1

，
所以f（x）=x³-2x²+x．（6分）
（2）由（1）得f'（x）=3x²-4x+1=（3x-1）（x-1）（7分）
令f′（x）＞0，得x＜

1

3

或x＞1，（8分）
令f′（x）＜0，得

1

3

＜x＜1．（9分）
因此f（x）的单调递增区间为(-∞，

1

3

)，（1，+∞），
单调递减区间为(

1

3

，1)．（10分）
（3）因为f（-1）=-4，f(

1

3

)=

4

27

，
f（1）=0，f（2）=2，（12分）
所以f（x）在[-1，2]上的最大值为2，
最小值为-4．（14分）

点评：本题考查函数的解析式的求法，考查函数的单调区间的求法，考查函数在闭区间上的最值的求法，是中档题，解题时要注意导数性质的合理运用．