Question

11．（1）已知△ABC中A（2，0），B（4，0），C（2，2），求△ABC的外接圆方程
（2）过直线l：x+2y+1=0与圆C：x²+y²=8的交点，且圆心在直线y=x上的圆的方程．

Answer 1

分析 （1）设△ABC的外接圆方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，利用待定系数法能求出△ABC的外接圆方程．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{x+2y+1=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，求出交点坐标一，由圆心在直线y=x上，设圆心为O（a，b），由题意列出方程组求出圆心和半径，由此能求出圆的方程．

解答 解：（1）设△ABC的外接圆方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
∵△ABC中A（2，0），B（4，0），C（2，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4+2D+F=0}\\{16+4D+F=0}\\{8+2D+2E+F=0}\end{array}\right.$，解得D=-6，E=-2，F=8，
∴△ABC的外接圆方程为x²+y²-6x-2y+8=0．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{x+2y+1=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-1+2\sqrt{39}}{5}}\\{y=\frac{-2-\sqrt{39}}{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-1-2\sqrt{39}}{5}}\\{y=\frac{-2+\sqrt{39}}{5}}\end{array}\right.$，
设圆心为O（a，b），由题意得：
$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{（\frac{-1-2\sqrt{39}}{5}-a）^{2}+（\frac{-2+\sqrt{39}}{5}-b）^{2}}=\sqrt{（\frac{-1+2\sqrt{39}}{5}-a）^{2}+（\frac{-2-\sqrt{39}}{5}-b）^{2}}}\\{a=b}\end{array}\right.$，
整理，得4（$\frac{1}{5}+a$）=2（$\frac{2}{5}+a$），解得a=b=0，
∴圆心O（0，0），半径r=$\sqrt{（\frac{-1-2\sqrt{39}}{5}）^{2}+（\frac{-2+\sqrt{39}}{5}）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴圆的方程为x²+y²=8．

点评 本题考查圆的方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质和待定系数法的合理运用．