Question

已知函数f（x）=x²+bx+c，其中b，c为常数．
（Ⅰ）若函数f（x）在区间[1，+∞）上单调，求b的取值范围；
（Ⅱ）若对任意x∈R，都有f（-1+x）=f（-1-x）成立，且函数f（x）的图象经过点（c，-b），求b，c的值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）利用二次函数单调性与对称轴之间的关系即可求b的取值范围；
（Ⅱ）根据条件f（-1+x）=f（-1-x）和图象经过点（c，-b），建立方程即可求b，c的值．

解答： 解：（I）因为函数f（x）=x²+bx+c，
所以它的开口向上，对称轴方程为x=-

b

2

，
因为函数f（x）在区间[-

b

2

，+∞）上单调递增，所以x=-

b

2

≤1，
所以b≥-2．
（Ⅱ）因为f（-1+x）=f（-1-x），
所以函数f（x）的对称轴方程为x=-1，
所以b=2，
又因为函数f（x）的图象经过点（c，-b），
所以有c²+2c+c=-2，
即c²+3c+2=0，
所以c=-2或c=-1．

点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，要求熟练掌握二次函数的性质，比较基础．