题目内容
已知函数f(x)=cos2x+2
sinxcosx
（1）求函数f（x）的值域，并写出函数f（x）的单调递增区间；
（2）若0＜θ＜
，且f(θ)=
，计算cos2θ的值．
| 3 |
（1）求函数f（x）的值域，并写出函数f（x）的单调递增区间；
（2）若0＜θ＜
| π |
| 6 |
| 4 |
| 3 |
考点：三角函数中的恒等变换应用,二倍角的余弦
专题：三角函数的图像与性质
分析：（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，根据角的范围，即可求函数f（x）的值域，利用正弦函数的单调性，即可求得函数f（x）的单调递增区间；
（2）由0＜θ＜
，f(θ)=
，可得sin(2θ+
)=
，再利用角的变换计算cos2θ的值．
（2）由0＜θ＜
| π |
| 6 |
| 4 |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 2 |
| 3 |
解答：
解：（1）f(x)=cos2x+
sin2x=2sin(2x+
)…（2分）
由于-2≤2sin(2x+
)≤2，
∴函数f（x）的值域为[-2，2]…（4分）
由-
+2kπ≤2x+
≤
+2kπ得-
+kπ≤x≤
+kπ
∴函数f（x）的单调的增区间为[kπ-
，kπ+
]，k∈Z…（6分）
（2）∵0＜θ＜
，…（8分）
∴
＜2θ+
＜
，
∴cos(2θ+
)＞0…（10分）
∵f(θ)=
，
∴sin(2θ+
)=
∴cos(2θ+
)=
…（11分）
∴cos2θ=cos[(2θ+
)-
]…（13分）
=
×
+
×
=
…（14分）
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| π |
| 6 |
由于-2≤2sin(2x+
| π |
| 6 |
∴函数f（x）的值域为[-2，2]…（4分）
由-
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| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
∴函数f（x）的单调的增区间为[kπ-
| π |
| 3 |
| π |
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（2）∵0＜θ＜
| π |
| 6 |
∴
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
∴cos(2θ+
| π |
| 6 |
∵f(θ)=
| 4 |
| 3 |
∴sin(2θ+
| π |
| 6 |
| 2 |
| 3 |
∴cos(2θ+
| π |
| 6 |
| ||
| 3 |
∴cos2θ=cos[(2θ+
| π |
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| π |
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=
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| 2 |
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点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，考查角的变换，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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| ||
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| ||
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