Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-3•2ⁿ+4（n∈N^*）．
（1）证明：数列{

an

2n

}是等差数列；
（2）设b_n=

4n

anan+1

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由S_n=2a_n-3•2ⁿ+4（n∈N^*），可得n=1时，a₁=S₁=2a₁-6+4，解得a₁．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，可得

an

2n

-

an-1

2n-1

=

3

2

，即可证明；
（2）由（1）可得

an

2n

=1+

3

2

(n-1)=

3n-1

2

，b_n=

4n

anan+1

=

4n

2n(3n-1)×2n+1(3n+2)

=

1

6

(

1

3n-1

-

1

3n+2

)，利用“裂项求和”即可得出．

解答： （1）证明：∵S_n=2a_n-3•2ⁿ+4（n∈N^*），∴n=1时，a₁=S₁=2a₁-6+4，解得a₁=2．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2an-3×2n+4-(2an-1-3×2n-1+4)，
化为an=2an-1+3×2n-1，
变形为

an

2n

-

an-1

2n-1

=

3

2

，
∴数列{

an

2n

}是等差数列，首项为

a1

2

=1，公差为

3

2

；
（2）解：由（1）可得

an

2n

=1+

3

2

(n-1)=

3n-1

2

，
∴b_n=

4n

anan+1

=

4n

2n(3n-1)×2n+1(3n+2)

=

1

6

(

1

3n-1

-

1

3n+2

)，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=

1

6

[(

1

2

-

1

5

)+(

1

5

-

1

8

)+…+(

1

3n-1

-

1

3n+2

)]
=

1

6

(

1

2

-

1

3n+2

)
=

1

12n+8

．

点评：本题考查了递推式的应用、等差数列的定义及其通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．