题目内容
1．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，x轴上有一点Q（2a，0），若C上存在一点P，使AP⊥PQ，则双曲线离心率的取值范围是（ ）| A． | $e＞\frac{{\sqrt{6}}}{2}$ | B． | $1＜e＜\frac{{\sqrt{6}}}{2}$ | C． | $e≥\frac{{\sqrt{6}}}{3}$ | D． | $1＜e＜\frac{{\sqrt{6}}}{3}$ |
分析 点P（m，n），根据AP⊥PQ利用数量积为零算出（m-a）（2a-m）-n2=0，结合点P（m，n）在双曲线上消去n，得关于m的一元二次方程：（m-a）（2a-m）-b2（$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$-1）=0，此方程的一个根为a，而另一个根为大于a的实数，由此建立关于a、b、c不等式关系，化简整理即可得到离心率e的取值范围．
解答 解：设点P（m，n），可得$\overrightarrow{AP}$=（m-a，n），$\overrightarrow{PQ}$=（2a-m，-n）
∵AP⊥PQ，
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{PQ}$=（m-a）（2a-m）-n2=0…（1）
又∵P（m，n）在双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$上
∴$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}=1$，得n2=b2（$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$-1）…（2）
将（2）式代入（1）式，得（m-a）（2a-m）-b2（$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$-1）=0
化简整理，得-$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$m2+3am+c2-3a2=0
此方程的一根为m1=a，另一根为m2=$\frac{3{a}^{3}-{ac}^{2}}{{c}^{2}}$．
∵点P是双曲线上异于右顶点A的一点，
∴$\frac{3{a}^{3}-{ac}^{2}}{{c}^{2}}$＞a，得3a2＞2c2，即e2＜$\frac{3}{2}$，
由此可得双曲线的离心率e满足1＜e＜$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故选：B
点评 本题给出双曲线上存在一点P，到A（a，0）和Q（2a，0）所张的角等于90度，求双曲线离心率的取值范围，着重考查了双曲线的简单几何性质和直线与双曲线关系等知识，属于中档题．
新思维假期作业寒假吉林大学出版社系列答案| A． | （2，+∞） | B． | [2，+∞） | C． | （-∞，-1） | D． | （-∞，-1] |
| A． | f（x）=|x-1| | B． | f（x）=cos（x-$\frac{π}{2}$） | C． | f（x）=0 | D． | f（x）=1+x2（x≥0） |
| A． | ?x∈R，x2+1≤0且x≤sinx | B． | ?x∈R，x2+1≤0或x≤sinx | ||
| C． | ?x0∈R，x${\;}_{0}^{2}$+1≤0且x0＞sinx0 | D． | ?x0∈R，x${\;}_{0}^{2}$+1≤0或x0≤sinx0 |
