Question

6．已知等边△ABC的边长为2，若$\overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{BE}，\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DC}$，则$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AE}$=-2．

Answer 1

分析 由题意画出图形，建立适当的平面直角坐标系，求出所用点的坐标，得到向量$\overrightarrow{BD}、\overrightarrow{AE}$的坐标，然后利用向量数量积的坐标运算得答案．

解答 解：如图，

以BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
∵等边△ABC的边长为2，且$\overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{BE}，\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DC}$，
则B（-1，0），D（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），A（0，$\sqrt{3}$），E（-$\frac{1}{3}$，0），
∴$\overrightarrow{BD}=（\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，$\overrightarrow{AE}=（-\frac{1}{3}，-\sqrt{3}）$
∴$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AE}=\frac{3}{2}×（-\frac{1}{3}）-\frac{3}{2}=-2$．
故答案为：-2．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，建系利用坐标求解起到事半功倍的效果，是中档题．