Question

数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=a_n+n+1（n∈N^*），则

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2013

=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件，利用累加法求出a_n=

n(n+1)

2

，由此利用裂基求和法能求出

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2013

的值．

解答： 解：∵{a_n}满足a₁=1，a_n+1=a_n+n+1（n∈N^*），
a₂-a₁=1+1，
a₃-a₂=2+1，
a₄-a₃=3+1，
…
a_n-a_n-1=（n-1）+1，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=1+（1+1）+（2+1）+（3+1）+…+[（n-1）+1]
=n+1+2+3+…+（n-1）
=

n(n+1)

2

，
∴

1

an

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2013

=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2013

-

1

2014

）
=2（1-

1

2014

）
=

2013

1007

．
故答案为：

2013

1007

．

点评：本题考查数列前2013项的和的求法，解题时要注意累加法求通项公式和裂项求和法求前n项和的灵活运用，是中档题．