Question

6．在△ABC中，a²+c²=b²+2$\sqrt{2}$ac．
（1）求∠B 的大小；
（2）求$\sqrt{2}$cosA+cosC 的最大值．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理求出cosB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由此能求出∠B的值．
（2）推导出$A+C=\frac{3}{4}π$，从而$\sqrt{2}cosA+cosC$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}cosA+\frac{{\sqrt{2}}}{2}sinA$=$sin（A+\frac{π}{4}）$，由此能求出$\sqrt{2}$cosA+cosC 的最大值．

解答 解：（1）∵在△ABC中，a²+c²=b²+2$\sqrt{2}$ac．
∴${a^2}+{c^2}-{b^2}=\sqrt{2}ac$，
∴由余弦定理得：$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{{\sqrt{2}ac}}{2ac}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∵0＜B＜π，∴$∠B=\frac{π}{4}$．
（2）∵A+B+C=π，$∠B=\frac{π}{4}$，
∴$A+C=\frac{3}{4}π$，
∴$\sqrt{2}cosA+cosC$
=$\sqrt{2}cosA+（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}cosA）+\frac{{\sqrt{2}}}{2}sinA$
=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}cosA+\frac{{\sqrt{2}}}{2}sinA$=$sin（A+\frac{π}{4}）$，
∵$A+C=\frac{3}{4}π$，
∴$A\;∈\;（0，\frac{3}{4}π）$，
∴$A+\frac{π}{4}\;∈\;（\frac{π}{4}，π）$，
∴$sin（A+\frac{π}{4}）$最大值为1，
∴$\sqrt{2}$cosA+cosC 的最大值为1．

点评 本题考查三角形中角的求法，考查三角形函数值的最大值的求法，考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系式、三角函数恒等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．