Question

14．已知偶函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，-π＜φ＜0）的最小正周期为π
（Ⅰ）求f（x）在[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]上的值域
（Ⅱ）将f（x）图象上的所有点向右平移$\frac{π}{2}$个单位，横坐标缩短到原来的$\frac{2}{3}$倍，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数g（x）的图象，求方程g（x）=$\frac{1}{2}$x$-\frac{π}{12}$的所有实数根的和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用诱导公式，余弦函数的周期性求得f（x）的解析式，再利用余弦函数的定义域和值域求出f（x）在[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]上的值域．
（Ⅱ）利用函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，数形结合可得方程g（x）=$\frac{1}{2}$x$-\frac{π}{12}$的所有实数根的和．

解答 解：（Ⅰ）∵偶函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，-π＜φ＜0）的最小正周期为π，
∴φ=-$\frac{π}{2}$，f（x）=sin（ωx-$\frac{π}{2}$）=-cosωx，且$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2，故f（x）=-cos2x．
在[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]上，2x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，∴cos2x∈[-1，$\frac{1}{2}$]，∴f（x）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
即f（x）在[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]上的值域为[-$\frac{1}{2}$，1]．
（Ⅱ）将f（x）图象上的所有点向右平移$\frac{π}{2}$个单位，
可得y=-cos2（x-$\frac{π}{2}$）=-cos（π-2x）=cos2x 的图象；
再把横坐标缩短到原来的$\frac{2}{3}$倍，可得y=cos3x的图象；
再把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数g（x）=2cos3x的图象．
根据图象可得，g（x）的图象和直线y=$\frac{1}{2}$x$-\frac{π}{12}$ 共有9个交点，
其中一个交点为（$\frac{π}{6}$，0），另外的8个交点关于（$\frac{π}{6}$，0）对称，如图所示：
故方程g（x）=$\frac{1}{2}$x$-\frac{π}{12}$ 的所有实根之和为$\frac{π}{6}$+4•（2•$\frac{π}{6}$）=$\frac{3π}{2}$．

点评 本题主要考查诱导公式，余弦函数的周期性，余弦函数的定义域和值域，函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，方程根的存在性以及个数判断，属于中档题．