Question

5．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线x+y-1=0对称，则椭圆C的方程为（　　）

• A． $\frac{{8{x^2}}}{9}+\frac{{16{y^2}}}{9}=1$
• B． $\frac{{9{x^2}}}{8}+\frac{{16{y^2}}}{9}=1$
• C． $\frac{{8{x^2}}}{9}+\frac{{9{y^2}}}{16}=1$
• D． $\frac{{9{x^2}}}{8}+\frac{{9{y^2}}}{16}=1$

Answer 1

分析 由椭圆的离心率，求得b=c，则椭圆的标准方程转化成x²+2y²=2b²，求得右焦点关于直线x+y-1=0对称的点，代入椭圆方程，即可求得b和a的值，求得椭圆方程．

解答 解：由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，则a=$\sqrt{2}$c，
由b²=a²-c²=c²，则b=c，
则设椭圆方程为x²+2y²=2b²，
∴右焦点（b，0）关于l：y=-x+1的对称点设为（x′，y′），则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y′}{x′-b}=1}\\{\frac{y′}{2}=-\frac{x′+b}{2}+1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x′=1}\\{y′=1-b}\end{array}\right.$，
由点（1，1-b）在椭圆上，得1+2（1-b）²=2b²，b²=$\frac{9}{16}$，a²=$\frac{9}{8}$，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{8{x}^{2}}{9}+\frac{{16y}^{2}}{9}=1$，
故选：A．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查点关于直线对称的求法，考查计算能力，属于中档题．