Question

10．已知点H在圆D：（x-2）²+（y+3）²=32上运动，点P坐标为（-6，3），线段PH中点为M，
（1）求点M的轨迹方程，
（2）平面内是否存在定点A（a，b），使M到O（0，0）、A的距离之比为常数λ（λ≠1），若存在，求出A的坐标及λ的值；若不存在，说明理由；
（3）若直线y=kx与M的轨迹交于B、C两点，N（0，m）使NB⊥NC，求m的范围．

Answer 1

分析 （1）利用代入法求点M的轨迹方程，
（2）求出${λ^2}=\frac{{{x^2}+{y^2}}}{{{{（x-a）}^2}+{y^2}}}$=$\frac{{{x^2}+8-{{（x+2）}^2}}}{{{{（x-a）}^2}+8-{{（x+2）}^2}}}$=$\frac{4（1-x）}{{4+{a^2}-（2a+4）x}}$，可得结论；
（3）利用韦达定理及向量垂直的结论，即可求m的范围．

解答 解：（1）设点M（x，y），则H（2x+6，2y-3），
又H在圆上，得（2x+6-2）²+（2y-3+3）²=32，化简得（x+2）²+y²=8．
（2）设M的轨迹交y轴于E、F，由$\frac{{|{EO}|}}{{|{EA}|}}=\frac{{|{FO}|}}{{|{FA}|}}$且|EO|=|FO|知，|EA|=|FA|，
所以A在x轴上，设M（x，y），
则${λ^2}=\frac{{{x^2}+{y^2}}}{{{{（x-a）}^2}+{y^2}}}$=$\frac{{{x^2}+8-{{（x+2）}^2}}}{{{{（x-a）}^2}+8-{{（x+2）}^2}}}$=$\frac{4（1-x）}{{4+{a^2}-（2a+4）x}}$，
所以4+a²=2a+4，a=2或0（舍），即A（2，0），$λ=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$；
（3）由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{{（x+2）}^2}+{y^2}=8}\end{array}}\right.$消去y得（1+k²）x²+4x-4=0，
∴${x_1}+{x_2}=-\frac{4}{{1+{k^2}}}={x_1}{x_2}$，
又 0=$\overrightarrow{BN}•\overrightarrow{CN}=（1+{k^2}）{x_1}{x_2}-km（{x_1}+{x_2}）+{m^2}$，
∴$0=-4+\frac{4km}{{1+{k^2}}}+{m^2}$即$\frac{{4-{m^2}}}{4m}=\frac{k}{{1+{k^2}}}∈[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$
由$-\frac{1}{2}≤\frac{{4-{m^2}}}{4m}≤\frac{1}{2}得m∈[-\sqrt{5}-1，-\sqrt{5}+1]∪[\sqrt{5}-1，\sqrt{5}+1]$．

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．