Question

19．已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x²+y²-2x-2y+1=0的切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是 （　　）

• A． $2\sqrt{2}$
• B． 2
• C． 3
• D． 3$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 作出图象，由图象可得当PC与直线垂直时S取最小值，结合点到直线的距离公式得答案．

解答 解：如图，设PC=d，
则由圆的知识和勾股定理可得PB=PA=$\sqrt{{d}^{2}-1}$，
∴四边形PACB面积S=2×$\frac{1}{2}$×PA×BC=$\sqrt{{d}^{2}-1}$，
当d取最小值时S取最小值，
由点P在直线上运动可知当PC与直线垂直时d取最小值，
此时d恰为点C到已知直线的距离，
由点到直线的距离公式可得d=$\frac{|3×1+4×1+8|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}=3$，
∴四边形PACB面积S的最小值为2$\sqrt{2}$．
故选：A．

点评 本题考查圆的切线问题，涉及函数的最值，转化为点到直线的距离是解决问题的关键，属中档题．