Question

18．如图所示，设P为圆O外的点，过点P作圆O的切线PA，切点为A，过点P作圆O的割线PBC，与圆交于B，C两点，AH⊥OP，垂足为H．
（1）求证：△PHB～△PCO；
（2）已知圆O的半径为1，PA=$\sqrt{3}$，PB=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，求四边形BCOH的面积．

Answer 1

分析 （1）由射影定理知：PA²=PH•PO，根据切线长定理知：PA²=PB•PC，即可证明：△PHB～△PCO；
（2）求出S_△OCP=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{6}×\frac{\sqrt{10}}{4}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．由△PHB∽△PCO，相似比为$\frac{PB}{PO}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，面积比为（$\frac{\sqrt{6}}{4}$）²=$\frac{3}{8}$，从而求出四边形BCOH的面积．

解答 证明：（1）在直角△POA中，由射影定理知：PA²=PH•PO，
又根据切线长定理知：PA²=PB•PC，
从而PH•PO=PB•PC，即$\frac{PH}{PC}=\frac{PB}{PO}$，
∵∠BPH=∠OPC，
∴△PHB～△PCO；
解：（2）由勾股定理PO=2，由切线长定理PA²=PB•PC，可得PC=$\sqrt{6}$，
在△POC中，cosC=$\frac{1+6-4}{2×1×\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴sinC=$\frac{\sqrt{10}}{4}$
所以S_△OCP=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{6}×\frac{\sqrt{10}}{4}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
由△PHB∽△PCO，相似比为$\frac{PB}{PO}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，面积比为（$\frac{\sqrt{6}}{4}$）²=$\frac{3}{8}$
从而四边形BCOH的面积S=$\frac{5}{8}$S_△OCP=$\frac{5}{32}\sqrt{15}$．

点评 本题考查三角形相似的判定与性质，考查切线长定理、射影定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．