Question

5．求下列函数的定义域：
（1）y=lg（sinx）；
（2）y=$\sqrt{1-2si{n}^{2}x}$；
（3）y=lg（2sinx-1）+$\sqrt{64-{x}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）由对数式的真数大于0，然后求解三角不等式得答案；
（2）由根式内部的代数式大于等于0，然后求解三角不等式得答案；
（3）分别由对数式的真数大于0，根式内部的代数式大于等于0，求解三角不等式，再取交集得答案．

解答 解：（1）由sinx＞0，得2kπ＜x＜π+2kπ，k∈Z．
∴函数y=lg（sinx）的定义域为（2kπ，π+2kπ），k∈Z；
（2）由1-2sin²x≥0，得-$\frac{\sqrt{2}}{2}≤sinx≤\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$-\frac{π}{4}+kπ≤x≤\frac{π}{4}+kπ，k∈Z$．
∴y=$\sqrt{1-2si{n}^{2}x}$的定义域为[$-\frac{π}{4}+kπ，\frac{π}{4}+kπ$]，k∈Z；
（3）由$\left\{\begin{array}{l}{2sinx-1＞0①}\\{64-{x}^{2}≥0②}\end{array}\right.$，
解①得：$\frac{π}{6}+2kπ＜x＜\frac{5π}{6}+2kπ，k∈Z$；
解②得：-8≤x≤8．
①②取交集得：x∈$（-\frac{11π}{6}，-\frac{7π}{6}）∪（\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）∪（\frac{13π}{6}，8]$．
∴y=lg（2sinx-1）+$\sqrt{64-{x}^{2}}$的定义域为$（-\frac{11π}{6}，-\frac{7π}{6}）∪（\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）∪（\frac{13π}{6}，8]$．

点评 本题考查函数的定义域及其求法，考查了三角不等式的解法，是中档题．