Question

15．函数y=$\sqrt{x+1}$+$\sqrt{1-x}$的最大值是2．

Answer 1

分析 由二次根式的性质可得-1≤x≤1，然后由柯西不等式求解最大值即可．

解答 解：根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{x+1≥0}\\{1-x≥0}\end{array}\right.$，
解得：-1≤x≤1，
由柯西不等式得：y=$\sqrt{x+1}$+$\sqrt{1-x}$≤$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$•$\sqrt{（\sqrt{x+1}）^{2}+（{\sqrt{1-x}）}^{2}}$=2（当且仅当$\sqrt{x+1}$=$\sqrt{1-x}$，即x=0时，取等号），
故函数y=$\sqrt{x+1}$+$\sqrt{1-x}$的最大值为2．
故答案为：2．

点评 此题考查了无理函数的最值问题．此题难度适中，注意掌握柯西不等式的应用是解此题的关键，注意柯西不等式：ax+by≤$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$•$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{{\;}^{2}}}$（当且仅当ay=bx时取“=”）．