Question

设f（x）=2x+1，f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f（f_n（x）），n∈N^*．若f_n（x）的图象经过点（a_n，1）则a_n=

 

．

Answer 1

考点：数列的概念及简单表示法

专题：等差数列与等比数列

分析：由f（x）=2x+1，f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f（f_n（x）），n∈N^*．可得f₁（x）=2x+1，2a₁+1=1，解得a₁=0，图象经过点（0，1）；同理可得f₂（x）的图象经过点（-

1

2

，1）；f₃（x）的图象经过点（-

3

4

，1）；…，猜想a_n=-

2n-2

2n

=2^1-n-1．

解答： 解：∵f（x）=2x+1，f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f（f_n（x）），n∈N^*．
∴f₁（x）=2x+1，2a₁+1=1，解得a₁=0，图象经过点（0，1）；
f₂（x）=f（f₁（x））=2（2x+1）+1=4x+3，由4a₂+3=1，解得a2=-

1

2

，图象经过点（-

1

2

，1）；
f₃（x）=f（f₂（x））=2（4x+3）+1=8x+7，由8a₃+7=1，解得a₃=-

3

4

，图象经过点（-

3

4

，1）；
…，
∴a₁=0=-

2-2

2

，a₂=-

2

4

=-

22-2

22

，a₃=-

6

8

=-

23-2

23

，…，
可得a_n=-

2n-2

2n

=2^1-n-1．
故答案为：2^1-n-1．

点评：本题考查了“由特殊到一般的推理”方法，考查了观察分析猜想归纳的方法，属于中档题．