Question

已知函数f（x）=

x2

ex

．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若方程f（x）=

m

x

有解，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若存在实数x₁≠x₂，使x₁•f（x₁）=x₂•f（x₂）成立，求证：x₁+x₂＞6．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求导数，然后解不等式f′（x）＞0、f′（x）＜0可得单调区间；
（Ⅱ）f（x）=

m

x

?m=

x3

ex

（x≠0），令g（x）=

x3

ex

（x≠0），利用导数可求得g（x）的范围，即得m的范围；
（Ⅲ）反证法：令h（x）=xf（x）=

x3

ex

（x∈R），由（2）知，h（x）的单调性，由条件知h（x₁）=h（x₂），不妨设x₁＜x₂，则必有x₁＜3，x₂＞3，于是6-x₂＜3，假设x₁+x₂≤6，利用单调性、导数可推出矛盾；

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=（2x-x²）e^-x，
令f′（x）＞0，得0＜x＜2，f′（x）＜0，得x＜0或x＞2，
∴f（x）的递增区间为（0，2），递减区间为（-∞，0），（2，+∞）；
（Ⅱ）f（x）=

m

x

?m=

x3

ex

（x≠0），
令g（x）=

x3

ex

（x≠0），则g′（x）=（3x²-x³）e^-x，
令g′（x）＞0，得x＜3，g′（x）＜0，得x＞3，
∴g（x）在（-∞，0），（0，3）上递增，在（3，+∞）上递减，
∴g(x)max=g(3)=

27

e3

，
故m∈（-∞，0）∪（0，

27

e3

]；
（Ⅲ）令h（x）=xf（x）=

x3

ex

（x∈R），则由（2）知，h（x）在（-∞，3）上递增，在（3，+∞）上递减．
由条件知h（x₁）=h（x₂），不妨设x₁＜x₂，则必有x₁＜3，x₂＞3，于是6-x₂＜3，
假设x₁+x₂≤6，则x₁≤6-x₂⇒h（x₁）≤h（6-x₂），即h（x₂）≤h（6-x₂）?

x23

ex2

≤

(6-x2)3

e6-x2

?

e6-x2

ex2

≤

(6-x2)3

x23

，
令3-x₂=t（t＜0），
则有

e3+t

e3-t

≤(

3+t

3-t

)3?e

2t

3

≤

3+t

3-t

(t＜0)，即（3-t）e

2t

3

-t-3≤0 （*），
令u（x）=（3-x）e

2x

3

-x-3（x＜0）．u′（x）=（1-

2x

3

）e

2x

3

-1，
因为u′（x）=-

4

9

xe

2x

3

＞0（x＜0）恒成立，所以u′（x）在（-∞，0）上是增函数，
所以u′（x）＜u′（0）=0，所以u（x）在（-∞，0）上是减函数，
故u（x）＞u（0）=0，∴t＜0时，u（t）＞0，这与（*）矛盾！
所以原不等式得证，即x₁+x₂＞6．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、极值最值，考查不等式的证明，反证法是证明（Ⅲ）问的关键所在，该题综合性强，能力要求较高．