Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB=AP=2，AD=4，E、F依次是PB、PC的中点．
（1）求证：PB⊥平面AEFD；
（2）求直线EC与平面PAD所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由PA⊥平面ABCD，得AD⊥PA，结合AD⊥AB，得AD⊥平面PAB，从而AD⊥PB，最后根据△PAB中，中线AE⊥PB且AE、AD是平面AEFD内的相交直线，证出PB⊥平面AEFD；
（2）取PA中点G，CD中点H，连接EG、GH、GD，证明∠HGD即为直线EC与平面PAD所成的角，求出GH，即可求出直线EC与平面PAD所成角的正弦值．

解答： （1）证明：∵PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形
∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥PB
∵E是PB的中点，AB=AP，∴AE⊥PB
∵AB∩AE=A，
∴PB⊥平面AEFD…（6分）
（2）解：∵PA⊥平面ABCD，∴CD⊥PA，
又CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，…（8分）
取PA中点G，CD中点H，连接EG、GH、GD，
则EG∥AB∥CD且EG=

1

2

AB=1，
∴EGHC是平行四边形，∴EC∥HG
∴∠HGD即为直线EC与平面PAD所成的角…（12分）
在Rt△GAD中，GH=

18

，sin∠HGD=

HD

GH

=

1

18

=

2

6

，
∴直线EC与平面PAD所成角的正弦值为

2

6

…（14分）

点评：本题在四棱锥中，证明了线面垂直并求直线与平面所成角的正弦之值，着重考查了直线与平面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．