Question

在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sin（A-B）=cosC．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若a=3

2

，b=

10

，求c．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）已知等式右边利用诱导公式化简，根据三角形为锐角三角形，即可确定出B的度数；
（Ⅱ）由a，b，以及cosB的值，利用余弦定理求出c的值，检验即可得到满足题意c的值．

解答： 解：（Ⅰ）由sin（A-B）=cosC，得sin（A-B）=sin（

π

2

-C），
∵△ABC是锐角三角形，
∴A-B=

π

2

-C，即A-B+C=

π

2

，①
又A+B+C=π，②
由②-①，得B=

π

4

；
（Ⅱ）由余弦定理b²=c²+a²-2cacosB，得（

10

）²=c²+（3

2

）²-2c×3

2

cos

π

4

，
即c²-6c+8=0，
解得c=2，或c=4，
当c=2时，b²+c²-a²=（

10

）²+2²-（3

2

）²=-4＜0，
∴b²+c²＜a²，此时A为钝角，与已知矛盾，
∴c≠2．
则c=4．

点评：此题考查了余弦定理，以及诱导公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．