Question

19．已知抛物线x²=4y的焦点为F，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是抛物线上的两个动点，如满足y₁+y₂+2=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$|AB|，则∠AFB的最大值（　　）

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{2π}{3}$
• C． $\frac{3π}{4}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 由题意画出图形，利用抛物线定义结合已知可得|AF|+|BF|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$|AB|．再由余弦定理，结合基本不等式即可求出∠AFB的最大值．

解答 解：如图，

∵y₁+y₂+2=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$|AB|，又|AF|+|BF|=y₁+y₂+2，
∴|AF|+|BF|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$|AB|．
在△AFB中，由余弦定理得：cos∠AFB=$\frac{|AF{|}^{2}+|BF{|}^{2}-|AB{|}^{2}}{2|AF|•|BF|}$=$\frac{（|AF|+|BF|）^{2}-2|AF|•|BF|-|AB{|}^{2}}{2|AF|•|BF|}$
=$\frac{\frac{4}{3}|AB{|}^{2}-|AB{|}^{2}}{2|AF|•|BF|}-1$=$\frac{\frac{1}{3}|AB{|}^{2}}{2|AF|•|BF|}-1$．
又|AF|+|BF|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$|AB|≥2$\sqrt{|AF|•|BF|}$，
∴|AF|•|BF|≤$\frac{1}{3}|AB{|}^{2}$．
∴cos∠AFB≥$\frac{\frac{1}{3}|AB{|}^{2}}{2×\frac{1}{3}|AB{|}^{2}}-1=-\frac{1}{2}$，
∴∠AFB的最大值为$\frac{2π}{3}$，
故选：B．

点评 本题考查抛物线的定义，考查余弦定理、基本不等式的运用，属于中档题．