题目内容
7．已知数列{an}各项均为正数，a1=$\frac{1}{2}$，对任意的n∈N*，有an+1=an+$\frac{1}{2016}$an2，若an＞1，则n的最小值为2018．分析 an+1=an+$\frac{1}{2016}$an2，a1=$\frac{1}{2}$，可得an+1＞an＞0．可得：$\frac{1}{{a}_{n}+2016}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，可得$\frac{1}{{a}_{1}+2016}$+$\frac{1}{{a}_{2}+2016}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}+2016}$=2-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，通过放缩可得：2-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$＜$\frac{n}{{a}_{1}+2016}$，当n=2016时，得a2017＜1.2-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$＞$\frac{n}{{a}_{n}+2016}$．当n=2017时，得
a2018＞1．即可得出．
解答 解：∵an+1=an+$\frac{1}{2016}$an2，a1=$\frac{1}{2}$，∴an+1＞an＞0．
∴$\frac{1}{{a}_{n}+2016}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}+2016}$+$\frac{1}{{a}_{2}+2016}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}+2016}$=$\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=2-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，
∴2-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$＜$\frac{n}{{a}_{1}+2016}$．
当n=2016时，2-$\frac{1}{{a}_{2017}}$＜$\frac{2016}{\frac{1}{2}+2016}$＜1，得a2017＜1．
2-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$＞$\frac{n}{{a}_{n}+2016}$．
当n=2017时，2-$\frac{1}{{a}_{2018}}$＞$\frac{2017}{{a}_{2017}+2016}$＞1，得a2018＞1．
因此存在n，使得an＞1，且n的最小值为2018．
故答案为：2018．
点评 本题考查了数列递推关系、放缩方法、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
举一反三期末百分冲刺卷系列答案| A． | ${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$ | B． | ${x^2}-\frac{y^2}{2}=1$ | C． | ${x^2}-\frac{y^2}{5}=1$ | D． | ${x^2}-\frac{y^2}{6}=1$ |
已知某路段最高限速60km/h，电子监控测得连续4辆汽车的速度用用茎叶图表示如图示，若从中任取2辆，则恰好有1辆汽车超速的概率为$\frac{1}{2}$．| A． | $\frac{1}{3}$ | B． | $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ | C． | $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$ | D． | $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$ |
| A． | $\frac{π}{3}$ | B． | $\frac{2π}{3}$ | C． | $\frac{3π}{4}$ | D． | $\frac{5π}{6}$ |
随着社会发展，襄阳市在一天的上下班时段也出现了堵车严重的现象．交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念．记交通指数为T，其范围为[0，10]，分别有5个级别：T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通；T∈[4，6）轻度拥堵；T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵．早高峰时段（T≥3 ），从襄阳市交通指挥中心随机选取了一至四马路之间50个交通路段，依据交通指数数据绘制的直方图如图所示：