题目内容
已知向量
=（cosλθ，cos（5-λ）θ），
=（sin（5-λ）θ，sinλθ），λ，θ∈R
（1）求|
|2+|
|2的值；
（2）若
⊥
，求θ；
（3）若θ=
，求证：
∥
．
| a |
| b |
（1）求|
| a |
| b |
（2）若
| a |
| b |
（3）若θ=
| π |
| 10 |
| a |
| b |
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：（1）利用向量模的计算公式、数量积的性质即可得出；
（2）利用
⊥
?
•
=0即可得出；
（3）利用向量共线定理即可得出．
（2）利用
| a |
| b |
| a |
| b |
（3）利用向量共线定理即可得出．
解答：
解：（1）∵向量
=（cosλθ，cos（5-λ）θ），
=（sin（5-λ）θ，sinλθ），λ，θ∈R．
∴|
|=
，|
|=
，
∴
2+
2=cos2λθ+cos2（5-λ）θ+sin2（5-λ）θ+sin2λθ=2．
（2）∵
⊥
，∴
•
=cosλθsin（5-λ）θ+sinλθcos（5-λ）θ=sin（5θ-λθ+λθ）=sin5θ=0，
∴5θ=kπ（k∈Z）．
∴θ=
(k∈Z)．
（3）当θ=
时，
=(cos
，sin
)，
=(sin
，sin
)，
∵sin
cos
-sin
cos
=
sin(π-
)-
sin
=
sin
-
sin
=0，
∴
∥
．
| a |
| b |
∴|
| a |
| cos2λθ+cos2(5-λ)θ |
| b |
| sin2(5-λ)θ+sin2λθ |
∴
| a |
| b |
（2）∵
| a |
| b |
| a |
| b |
∴5θ=kπ（k∈Z）．
∴θ=
| kπ |
| 5 |
（3）当θ=
| π |
| 10 |
| a |
| πλ |
| 10 |
| (5-λ)π |
| 10 |
| b |
| (5-λ)π |
| 10 |
| πλ |
| 10 |
∵sin
| (5-λ)π |
| 10 |
| (5-λ)π |
| 10 |
| πλ |
| 10 |
| πλ |
| 10 |
| 1 |
| 2 |
| πλ |
| 5 |
| 1 |
| 2 |
| πλ |
| 5 |
| 1 |
| 2 |
| πλ |
| 5 |
| 1 |
| 2 |
| πλ |
| 5 |
∴
| a |
| b |
点评：本题考查了向量模的计算公式、数量积的性质、
⊥
?
•
=0、向量共线定理等基础知识与基本技能方法，属于中档题．
| a |
| b |
| a |
| b |
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