Question

统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y=

1

128000

x³-

3

80

x+8（0＜x≤120），已知甲、乙两地相距100千米．
（Ⅰ）求汽车从甲地到乙地匀速行驶的耗油量S（升）与行驶速度x（千米/小时）的函数关系式；
（Ⅱ）当汽车以多大速度匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油量S最少？最少为多少升？

Answer 1

考点：根据实际问题选择函数类型

专题：应用题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了

100

x

小时，即可求出耗油量为h（x）与速度为x的关系式；
（Ⅱ）利用导函数求出S的极小值判断出就是最小值即可．

解答： 解：（Ⅰ）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了

100

x

小时，则
依题意得S=（

1

128000

x³-

3

80

x+8）•

100

x

=

1

1280

x2+

800

x

-

15

4

（0＜x≤120）；
（Ⅱ）S′=

x3-803

640x2

（0＜x≤120）．
令S′=0，得x=80．
当x∈（0，80）时，S′＜0，S是减函数；
当x∈（80，120）时，S′＞0，S是增函数．
∴当x=80时，S取到极小值11.25．
∵S在（0，120]上只有一个极值，
∴它是最小值．
故当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．

点评：本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力．