Question

（1）在曲线y=

x

上找一点P，使P点到直线x-4y+14=0的距离最短，求出最短距离及此时P点的坐标．
（2）求过点（-1，-1）且和曲线y=1+2x-x³相切的直线方程．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）由曲线y=

x

上点P的切线平行于x-4y+14=0，可得P点的坐标，从而求出最短距离；
（2）设切点（x₀，y₀），根据直线过点（-1，-1）且和曲线y=1+2x-x³相切，建立方程，求出切点，即可求过点（-1，-1）且和曲线y=1+2x-x³相切的直线方程．

解答： 解：（1）设P（m，n），则
∵y=

x

，∴y′=

1

2 x

，
由

1

2 m

=

1

4

，可得m=4，∴n=2，
此时P（4，2）到直线x-4y+14=0的距离最短，最短距离为d=

|4-8+14|

1+16

=

10 17

17

；
（2）设切点（x₀，y₀），则2-3x02=

1+2x0-x03+1

x0+1

，
∴2x02(x0+

3

2

)=0，
∴x₀=0，或x₀=-

3

2

，
x₀=0，切线为y=2x+1；
x0=-

3

2

，切线为19x+4y+23=0．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查学生的计算能力，难度中等．