Question

12．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=3+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ²-4ρcosθ+1=0．
（Ⅰ）写出直线l和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）P是曲线C上任意一点，求P到直线l的距离的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}x=3+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$消去参数能得到直线l的直角坐标方程，由ρ²-4ρcosθ+1=0，ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，能求出曲线C的直角坐标方程．
（Ⅱ）曲线C的圆心为（2，0），半径为$\sqrt{3}$，求出圆心到直线$\sqrt{3}x-y-3\sqrt{3}=0$的距离，由此能求出P到直线l的距离的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}x=3+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$消去参数t得，
直线l的直角坐标方程为$\sqrt{3}x-y-3\sqrt{3}=0$．…（2分）
∵ρ²-4ρcosθ+1=0，ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，
∴曲线C的直角坐标方程x²+y²-4x+1=0…（4分）
（Ⅱ）∵曲线C的直角坐标方程x²+y²-4x+1=0，
∴曲线C：（x-2）²+y²=3…（5分），圆心为（2，0），半径为$\sqrt{3}$…（6分）
圆心到直线$\sqrt{3}x-y-3\sqrt{3}=0$的距离$d=\frac{{|\sqrt{3}×2-0-3\sqrt{3}|}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$…（8分）
∴P到直线l的距离的最大值$M=d+r=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$…（10分）

点评 本题考查直线和曲线的直角坐标方程的求法，考查曲线上任意一点到直线的距离的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线距离公式的合理运用．