Question

3．设矩阵$M=[{\begin{array}{l}2&0\\ 0&3\end{array}}]$，求曲线C：x²+y²=1在矩阵M^-1所对应的线性变换作用下得到的曲线方程．

Answer 1

分析 先求出矩阵M^-1，再设曲线C上任意一点P（x，y）在矩阵M^-1对应的变换下得到P'（x'，y'），根据矩阵的性质即可求出答案．

解答 解：：${M^{-1}}=[{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}}&0\\ 0&{\frac{1}{3}}\end{array}}]$，设曲线C上任意一点P（x，y）在矩阵M^-1对应的变换下得到P'（x'，y'），
则$[{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}}&0\\ 0&{\frac{1}{3}}\end{array}}][{\begin{array}{l}x\\ y\end{array}}]=[{\begin{array}{l}{x'}\\{y'}\end{array}}]$，即$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}x=x'}\\{\frac{1}{3}y=y'}\end{array}}\right.$，因此$\left\{{\begin{array}{l}{x=2x'}\\{y=3y'}\end{array}}\right.$，
因为点P（x，y）满足曲线C：x²+y²=1，
所以有4x'²+9y'²=1，
因此可得在矩阵M^-1所对应的线性变换作用下的曲线方程为4x²+9y²=1

点评 本题考查矩阵变换的应用，考查逆矩阵的求法．解题时要认真审题，仔细解答．