Question

2．曲线C的极坐标方程是ρ=4sin（θ-$\frac{π}{6}$），直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{3}{5}t+2\\ y=\frac{4}{5}t\end{array}$（t为参数）．
（1）将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程；
（2）设直线l与x轴的交点是M，N为曲线C上一动点，求|MN|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）ρ=4sin（θ-$\frac{π}{6}$），两边同时乘以ρ得ρ²=4ρsin（θ-$\frac{π}{6}$），展开可得：ρ²=4$（\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ-\frac{1}{2}cosθ）$，把ρ²=x²+y²，y=ρsinθ，x=ρcosθ代入可得直角坐标方程．
（2）由直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{3}{5}t+2\\ y=\frac{4}{5}t\end{array}$（t为参数）．消去参数t可得直线l的直角坐标方程得：y=-$\frac{4}{3}$（x-2）．可得：M（2，0），利用|MC|-r≤|MN|≤|MC|+r，即可得出．

解答 解：（1）ρ=4sin（θ-$\frac{π}{6}$），两边同时乘以ρ得ρ²=4ρsin（θ-$\frac{π}{6}$），
展开可得：ρ²=4$（\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ-\frac{1}{2}cosθ）$，
可得直角坐标方程：x²+y²=2$\sqrt{3}$y-2x，
配方得：（x+1）²+$（y-\sqrt{3}）^{2}$=4．
（2）由直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{3}{5}t+2\\ y=\frac{4}{5}t\end{array}$（t为参数）．
消去参数t可得直线l的直角坐标方程得：y=-$\frac{4}{3}$（x-2）．
令y=0得x=2，即M（2，0），
又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为$（-1，\sqrt{3}）$，
半径r=2，则|MC|=$\sqrt{{3}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
由|MC|-r≤|MN|≤|MC|+r，
则|MN|∈$[2\sqrt{3}-2，2\sqrt{3}+2]$．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、圆的方程与直线方程的应用、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．