Question

4．如图所示，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为2的菱形，且∠ABC=60°，AA₁=3，AC，BD相交于点O，E为线段AD₁上一点．
（1）试确定点E的位置，使得A₁B∥OE；
（2）在（1）的条件下，求A₁C与平面ACE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）根据中位线的性质进行证明即可．
（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可进行求解即可．

解答 解：（1）连接A₁D，当E是AD₁的中点时，满足A₁B∥OE，
则当E是AD₁的中点时，∵O是BD的中点，
则OE是△A₁BD的中位线，
则A₁B∥OE．
（2）在（1）的条件下，E是AD₁的中点，连接AD₁，
则AD₁和A₁D相交于E，
取BC的中点F，连接AF，
∵底面ABCD是边长为2的菱形，且∠ABC=60°，
∴AF⊥BC，AF⊥AD，
建立以A为坐标原点，AF，AD，AA₁分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
∵AA₁=3，
∴A（0，0，0），F（$\sqrt{3}$，0，0），A₁（0，0，3），D（0，2，0），D₁（0，2，3），E（0，1，$\frac{3}{2}$），C（$\sqrt{3}$，1，0），
则$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（$\sqrt{3}$，1，-3），
$\overrightarrow{AC}$=（$\sqrt{3}$，1，0），$\overrightarrow{AE}$=（0，1，$\frac{3}{2}$），
设平面ACE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{AC}$=$\sqrt{3}$x+y=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{AE}$=y+$\frac{3}{2}$z=0，
令x=$\sqrt{3}$，则y=-3，z=2，
即$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，-3，2），

点评 本题主要考查直线平行的证明以及直线和平面所成角的求解，根据条件建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决空间角常用飞方法．