Question

1．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都为1，M、N分别为线段BD和B₁C上的两个动点．
（1）求线段MN长的最小值；
（2）当线段MN长最小时，求二面角B-MN-C的大小．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段MN长的最小值．
（2）当MN取得最小值时，$\overrightarrow{MN}$=（-$\frac{1}{3}，\frac{1}{3}，\frac{1}{3}$），DB⊥MN，B₁C⊥MN，二面角B-MN-C的大小等于向量$\overrightarrow{DB}$与向量$\overrightarrow{{B}_{1}C}$的夹角，由此能求出二面角B-MN-C的大小．

解答 解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设$\overrightarrow{DM}$=m$\overrightarrow{DB}$，$\overrightarrow{CN}$=n$\overrightarrow{C{B}_{1}}$，则M（m，m，0），N（n，1，n），
∴$\overrightarrow{MN}$=（n-m，1-m，n），
∴|$\overrightarrow{MN}$|²=（n-m）²+（1-m）²+n²=2n²-2mn+2m²-2m+1
=2（n-$\frac{m}{2}$）²+$\frac{3}{2}$（m-$\frac{2}{3}$）²+$\frac{1}{3}$，
当$\left\{\begin{array}{l}{n-\frac{m}{2}=0}\\{n=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{2}{3}}\\{n=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$时，有|$\overrightarrow{MN}$|²_min=$\frac{1}{3}$，
∴线段MN长的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（2）由（1）可知，当MN取得最小值时，$\overrightarrow{MN}$=（-$\frac{1}{3}，\frac{1}{3}，\frac{1}{3}$），
又$\overrightarrow{DB}$=（1，1，0），$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（-1，0，-1），
∴$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{DB}$=-$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+0=0$，$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{{B}_{1}C}=\frac{1}{3}+0-\frac{1}{3}=0$，
∴DB⊥MN，B₁C⊥MN，
∴二面角B-MN-C的大小等于向量$\overrightarrow{MB}$与向量$\overrightarrow{NC}$的夹角，
即向量$\overrightarrow{DB}$与向量$\overrightarrow{{B}_{1}C}$的夹角，
∵cos＜$\overrightarrow{DB}，\overrightarrow{{B}_{1}C}$＞=$\frac{\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{{B}_{1}C}}{|\overrightarrow{DB}|•|\overrightarrow{{B}_{1}C}|}$=-$\frac{1}{2}$，
由图知二面角B-MN-C的平面角是锐角，
∴二面角B-MN-C的大小为60°．

点评 本题考查线段长的最小值的求法，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．