Question

14．已知正实数a，b，c，函数f（x）=|x+a|•|x+b|．
（Ⅰ）若a=1，b=3，解关于x的不等式f（x）+x+1＜0；
（Ⅱ）求证：f（1）f（c）≥16abc．

Answer 1

分析 （Ⅰ）原不等式等价于|（x+1）（x+3）|＜-x-1?x+1＜（x+1）（x+3）＜-x-1，即可得出结论；
（Ⅱ）利用基本不等式与不等式的性质证明f（1）f（c）≥16abc．

解答 解：（Ⅰ）原不等式等价于|（x+1）（x+3）|＜-x-1?x+1＜（x+1）（x+3）＜-x-1（2分）
$?\left\{\begin{array}{l}{x^2}+5x+4＜0\\{x^2}+3x+2＞0\end{array}\right.$$?\left\{\begin{array}{l}-4＜x＜-1\\ x＜-2或x＞-1\end{array}\right.$（4分）
?x∈（-4，-2），
∴解集为 （-4，-2）（5分）
（Ⅱ）∵a，b，c为正数，
所以有$\left\{\begin{array}{l}a+1≥2\sqrt{a}＞0\\ b+1≥2\sqrt{b}＞0\\ a+c≥2\sqrt{ac}＞0\\ b+c≥2\sqrt{bc}＞0\end{array}\right.$（8分）
∴$f（1）f（c）=（a+1）（b+1）（a+c）（b+c）≥2\sqrt{a}•2\sqrt{b}•2\sqrt{ac}•2\sqrt{bc}=16abc$（10分）

点评 本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法及不等式证明等内容．本小题重点考查考生的化归与转化思想．