Question

18．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，点Q（0，$\sqrt{3}$），射线FQ与C交于点E，与C的准线交于点P，且$\overrightarrow{PE}=2\overrightarrow{EF}$，则点E到y轴的距离是（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 由椭圆的定义可知：$\frac{丨EF丨}{丨EP丨}$=$\frac{1}{2}$，即$\frac{丨PK丨}{丨EK丨}$=$\sqrt{3}$，即$\frac{丨OQ丨}{丨OF丨}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{p}{2}}$，则p=2，求得直线FP的方程，联立即可求得E的横坐标，即可求得点E到y轴的距离．

解答 解：故E作EK⊥准线l，则丨EF丨=丨EK丨，由$\overrightarrow{PE}=2\overrightarrow{EF}$，
则$\frac{丨EF丨}{丨EP丨}$=$\frac{1}{2}$，则$\frac{丨EK丨}{丨EP丨}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{丨PK丨}{丨EK丨}$=$\sqrt{3}$，
则tan∠AFO=$\sqrt{3}$，
即$\frac{丨OQ丨}{丨OF丨}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{p}{2}}$，则p=2，
抛物线方程C：y²=4x，直线FP的方程y=-$\sqrt{3}$（x-1），
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\sqrt{3}（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得：3x²-10x+3=0，
解得：x=$\frac{1}{3}$，或x=3，
则E点的横坐标$\frac{1}{3}$，
∴点E到y轴的距离$\frac{1}{3}$，
故选B．

点评 本题考查抛物线的标准方程及抛物线的定义，考查相似三角形的性质，考查数形结合思想，属于中档题．